补码是什么

补码是整数的表示方法。

定义

集合$M\subseteq \mathbb{N},L\subseteq \mathbb{Z}$，$M$(Machine)集合是整数的机器表示（十进制），$L$(Logical)集合是被表示的整数。

假设讨论的是$w$位整数，那么：$\mathrm{\forall }m\in M,m\in [0,2^w-1]$，$\mathrm{\forall }l\in L,l\in [-2^{w-1},2^{w-1}-1]$。定义函数 $$f:M\to L,f(x)=\{\begin{array}{ll}x& 0\le x\le 2^{w-1}-1\\ x-2^w& 2^{w-1}\le x\le 2^w-1\end{array}$$

经过推导，它的反函数 $$f^{-1}:L\to M,f^{-1}(x)=\{\begin{array}{ll}x+2^w& -2^{w-1}\le x\le -1\\ x& 0\le x\le 2^{w-1}-1\end{array}$$

可以看出，$f$是一个双射，即对应法则$f$给出了从机器表示的数到逻辑上的数的一一对应。

如何理解

补码是一种对应关系，仅此而已。补码通过一个双射使得机器表示的数（非负）和一定范围内的整数（有正有负）一一对应了起来。不要把二进制表示的最高位看作符号位而割裂开来。最高位为１代表负数仅仅是一种刻意设计的巧合。

补码表示的奇妙性质

计算相反数

已知$a\in L,f^{-1}(a)\in M$，对$a$的正负进行简单讨论可以得到： $$f^{-1}(-a)=2^w-f^{-1}(a)$$

Last modified on 2020-05-14