补码是什么

补码是整数的表示方法。

定义

集合$M\subseteq \mathbb N ,L\subseteq \mathbb Z$，$M$(Machine)集合是整数的机器表示（十进制），$L$(Logical)集合是被表示的整数。

假设讨论的是$w$位整数，那么：$\forall m \in M,m \in [0,2^w-1]$，$\forall l \in L , l \in [-2^{w-1},2^{w-1}-1]$。定义函数 $$ f\colon M \to L,f(x)= \begin{cases} x& 0 \leq x\leq 2^{w-1}-1\\
x-2^w & 2^{w-1} \leq x \leq 2^w-1 \end{cases} $$

经过推导，它的反函数 $$ f^{-1}\colon L \to M,f^{-1}(x)= \begin{cases} x+2^w& -2^{w-1} \leq x\leq -1\\
x& 0 \leq x \leq 2^{w-1}-1 \end{cases} $$

可以看出，$f$是一个双射，即对应法则$f$给出了从机器表示的数到逻辑上的数的一一对应。

如何理解

补码是一种对应关系，仅此而已。补码通过一个双射使得机器表示的数（非负）和一定范围内的整数（有正有负）一一对应了起来。不要把二进制表示的最高位看作符号位而割裂开来。最高位为１代表负数仅仅是一种刻意设计的巧合。

补码表示的奇妙性质

计算相反数

已知$a \in L,f^{-1}(a) \in M$，对$a$的正负进行简单讨论可以得到： $$f^{-1}(-a)=2^w-f^{-1}(a)$$

Last modified on 2020-05-14